DeepSeek-R1 推理引擎 · 14:15
1. \(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})\) 标准基满足交换关系 \([h, e] = 2e, [h, f] = -2f, [e, f] = h\)。
2. 设 \(V\) 为有限维不可约表示，由最高权理论存在非零向量 \(v_0\) 使得 \(e \cdot v_0 = 0, h \cdot v_0 = \lambda v_0\)。
3. 定义基底向量 \(v_k = \frac{1}{k!} f^k v_0\)，通过归纳计算 \(e \cdot v_k = (\lambda - k + 1) v_{k-1}\)。
4. 有限维要求存在整数 \(n\) 使得 \(v_{n+1} = 0\)，迫使最高权 \(\lambda = n \in \mathbb{N}\)，维数为 \(n+1\)。
5. 构造 Casimir 算子 \(C = 2ef + 2fe + h^2 = 4fe + 2h + h^2\)，作用于 \(v_0\) 得特征值 \(C \cdot v_0 = (n^2 + 2n) v_0\)。
不可约表示与 Casimir 特征值推导结论：
1. 任意 \(n+1\) 维有限维不可约表示均由最高权 \(n \in \mathbb{N}\) 唯一确定，其权子空间由单权构成：\(\{n, n-2, \dots, -n\}\)。
2. 二阶 Casimir 算子 \(C\) 位于泛包络代数的中心，其在整不可约表示上的作用为常数标量乘法，对应特征值为 \(n(n+2)\)。
